2. Из вершины прямого угла прямоугольного треугольника с катетами, равными 15 и 20, проведён перпендикуляр к плоскости треугольника длиной 16. Вычислите расстояние от концов перпендикуляра до гипотенузы.

Пусть вершина прямого угла — точка A, а концы перпендикуляра — A и A′. Гипотенуза треугольника находится в исходной плоскости, поэтому расстояние от A′ до гипотенузы вычислим по теореме Пифагора: его составляющие — расстояние от A до гипотенузы и высота AA′.

1. Найдём гипотенузу: \(c=\sqrt{15^2+20^2}=25\).

2. Высота из прямого угла к гипотенузе равна \(h=\frac{15\cdot20}{25}=12\). Это расстояние от A до гипотенузы.

3. Для точки A′ расстояние до гипотенузы равно \(\sqrt{12^2+16^2}=20\), так как AA′ перпендикулярен плоскости треугольника, а значит, перпендикулярен гипотенузе.

Ответ: от вершины прямого угла до гипотенузы — 12; от второго конца перпендикуляра до гипотенузы — 20.