2. Из вершины прямоугольника опущен перпендикуляр на диагональ, который делит её на два отрезка, меньший из которых равен 2 см. Перпендикуляр образует с меньшей стороной прямоугольника угол в 30°. а) Вычислите длину меньшей стороны прямоугольника и длину диагонали. б) [условие обрезано]

а) Обозначим диагональ через d, а меньшую сторону — через a. Перпендикуляр, сторона прямоугольника и отрезки диагонали образуют два подобных прямоугольных треугольника.

Угол между перпендикуляром и меньшей стороной равен 30°. Поэтому соответствующий острый угол между диагональю и меньшей стороной равен 60°, а другой острый угол исходного прямоугольного треугольника — 30°. Следовательно, меньшая сторона, лежащая напротив угла 30°, равна половине диагонали: a = d / 2.

Отрезок диагонали, прилегающий к меньшей стороне, равен a² / d. Он является меньшим из двух отрезков, поэтому a² / d = 2. Подставим a = d / 2: (d / 2)² / d = 2, откуда d / 4 = 2 и d = 8 см.

Тогда a = 8 / 2 = 4 см.

Ответ: меньшая сторона — 4 см, диагональ — 8 см.

Пункт б) обрезан на изображении; пришлите его продолжение, чтобы можно было выполнить эту часть.