2. Известно, что в конкурсе от восьмых и девятых классов всего участвовало 50 учеников. Сколько листов бумаги получил каждый ученик восьмого и каждый ученик девятого класса?

Решение:

Обозначим количество учеников девятого класса как \( y \).

Тогда количество учеников восьмого класса равно \( 50 - y \).

По условию, каждый класс получил по 60 листов.

Каждый ученик восьмого класса получил на 1 лист меньше, чем каждый ученик девятого класса. Пусть количество листов у ученика девятого класса равно \( k \). Тогда у ученика восьмого класса \( k - 1 \) лист.

Составим уравнения:

1. Для восьмого класса: \( (50 - y)(k - 1) = 60 \)


2. Для девятого класса: \( y · k = 60 \)

Из второго уравнения выразим \( k = \frac{60}{y} \).

Подставим \( k \) в первое уравнение:

\( (50 - y)(\frac{60}{y} - 1) = 60 \)

Раскроем скобки:

\( 50 · \frac{60}{y} - 50 · 1 - y · \frac{60}{y} + y · 1 = 60 \)

\( \frac{3000}{y} - 50 - 60 + y = 60 \)

\( \frac{3000}{y} - 110 + y = 60 \)

\( \frac{3000}{y} + y = 170 \)

Умножим обе части на \( y \) (при условии \( y \neq 0 \)):

\( 3000 + y^2 = 170y \)

\( y^2 - 170y + 3000 = 0 \)

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-170)^2 - 4 \cdot 1 · 3000 = 28900 - 12000 = 16900 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{16900} = 130 \]

Найдем \( y \):

\[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{170 + 130}{2} = \frac{300}{2} = 150 \]

\[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{170 - 130}{2} = \frac{40}{2} = 20 \]

Так как всего учеников 50, количество учеников в каждом классе не может быть больше 50. Поэтому \( y = 150 \) — посторонний корень.

Следовательно, \( y = 20 \) учеников в девятом классе.

Количество учеников восьмого класса: \( 50 - y = 50 - 20 = 30 \) учеников.

Теперь найдем количество листов на ученика:

• Для девятого класса: \( k = \frac{60}{y} = \frac{60}{20} = 3 \) листа.


• Для восьмого класса: \( k - 1 = 3 - 1 = 2 \) листа.

Проверим:

• Восьмой класс: \( 30 · 2 = 60 \) листов.


• Девятый класс: \( 20 · 3 = 60 \) листов.

Ответ: Каждый ученик восьмого класса получил 2 листа. Каждый ученик девятого класса получил 3 листа.