2. К окружности с центром О проведена касательная BR (B — точка касания). Найдите отрезок BR, если радиус окружности равен 8 см и ∠ROB = 15°. План решения задачи: 1. Показать, что ΔRBO — прямоугольный треугольник 2. Найти ∠ORB 3. Показать, что ΔRBO — равнобедренный треугольник 4. Найти BR

Решение:

1. Доказательство прямоугольности ΔRBO: Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Следовательно, ∠RBO = 90°. Значит, ΔRBO — прямоугольный треугольник.
2. Нахождение ∠ORB: В прямоугольном треугольнике ΔRBO сумма острых углов равна 90°. Так как ∠ROB = 15°, то ∠ORB = 90° - 15° = 75°.
3. Доказательство равнобедренности ΔRBO: Условие задачи не предполагает, что ΔRBO равнобедренный. Равнобедренным может быть треугольник, где две стороны равны, или два угла равны. В данном случае, это прямоугольный треугольник, и по условию задачи, сторона OB (радиус) равна 8 см.
4. Нахождение BR: В прямоугольном треугольнике ΔRBO, мы можем использовать тригонометрические соотношения. Для угла ∠ROB = 15°:
   • \[ \tan(15°) = \frac{BR}{OB} \]
   • BR = OB * \( \tan(15°) \)
   • BR = 8 * \( \tan(15°) \)
   Чтобы найти \( \tan(15°) \), можно использовать формулу разности углов: \( \tan(A - B) = \frac{\tan(A) - \tan(B)}{1 + \tan(A)\tan(B)} \). Пусть A = 45°, B = 30°.
5. \[ \tan(15°) = \tan(45° - 30°) = \frac{\tan(45°) - \tan(30°)}{1 + \tan(45°)\tan(30°)} = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + 1  \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} \]
6. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \( \sqrt{3}-1 \):
7. \[ \tan(15°) = \frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3} \]
8. Теперь найдем BR:
9. \[ BR = 8  (2 - \sqrt{3}) = 16 - 8\sqrt{3} \]
10. Приблизительное значение: \( \sqrt{3} \approx 1.732 \)
11. \[ BR \approx 16 - 8  1.732 = 16 - 13.856 = 2.144 \]

Ответ: BR = 16 - 8√3 см