№2. К окружности с центром О проведена касательная MN (M — точка касания). Найдите отрезок ON, если OM = 12 см и ∠MON = 30°.

Решение:

Касательная MN перпендикулярна радиусу OM в точке касания M. Следовательно, \( \angle OMN = 90° \).

Мы имеем прямоугольный треугольник OMN. По определению косинуса в прямоугольном треугольнике:

\( \cos(\angle MON) = \frac{OM}{ON} \)

\( \cos(30°) = \frac{12}{ON} \)

\( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{12}{ON} \)

\( ON = \frac{12 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3} \) см.

Ответ: $$8\sqrt{3}$$ см.