2. К окружности с центром О проведены касательные СМ и СК, где М и К — точки касания. Докажите, что ОС \( \perp \) МК.

Решение:

Рассмотрим треугольники \( \triangle OCM \) и \( \triangle OCK \).

1. \( OC \) — общая сторона для обоих треугольников.

2. \( OM = OK \) — как радиусы одной окружности.

3. \( CM = CK \) — как отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности.

Следовательно, \( \triangle OCM = \triangle OCK \) по трём сторонам (по признаку равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует, что соответствующие углы равны, в том числе \( \angle MOC = \angle KOC \) и \( \angle OCM = \angle OCK \).

Пусть \( OC \) пересекает \( MK \) в точке \( P \).

Теперь рассмотрим треугольники \( \triangle OPM \) и \( \triangle OPK \).

1. \( OP \) — общая сторона.

2. \( OM = OK \) — радиусы.

3. \( \angle MOP = \angle KOP \) (так как \( \angle MOC = \angle KOC \) и \( OP \) является частью \( OC \)).

Следовательно, \( \triangle OPM = \triangle OPK \) по двум сторонам и углу между ними (по первому признаку равенства треугольников).

Из равенства этих треугольников следует, что \( \angle OPM = \angle OPK \).

Так как \( \angle MOK \) — развёрнутый угол (или, точнее, \( \angle MPK \) — развёрнутый, если рассматривать \( MK \) как прямую), углы \( \angle OPM \) и \( \angle OPK \) являются смежными и равны между собой, значит, каждый из них равен \( 90° \). Следовательно, \( OP \) (и вся прямая \( OC \)) перпендикулярна \( MK \).

Доказано.