2. Каким свойством обладают углы четырёхугольника, вписанного в окружность? Уметь строить и объяснить.

Свойство углов вписанного четырёхугольника

Сумма противоположных углов четырёхугольника, вписанного в окружность, равна 180 градусам.

Пусть ABCD — четырёхугольник, вписанный в окружность. Тогда:

• ∠A + ∠C = 180°
• ∠B + ∠D = 180°

Построение и объяснение

1. Возьмите произвольный четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность.

2. Заметьте, что углы ∠A и ∠C являются вписанными углами, опирающимися на дугу BD. Сумма вписанных углов, опирающихся на полуокружность, равна 180°. В данном случае, если AC — диаметр, то ∠ABC = ∠ADC = 90°. Если AC не диаметр, то сумма дуг ADC и ABC равна 360°, а вписанные углы равны половине центральных, опирающихся на эти дуги. Отсюда следует, что ∠A + ∠C = 180° и ∠B + ∠D = 180°.

3. Для построения можно:

• Нарисовать окружность.
• Выбрать на окружности четыре точки A, B, C, D.
• Соединить их отрезками.
• Измерить противоположные углы и убедиться, что их сумма равна 180°.