2. Камень брошен с вышки в горизонтальном направлении со скоростью 20 м/с. Определить скорость, тангенциальное и нормальное ускорение камня в конце второй секунды после начала движения.

Решение:

Задача описывает движение камня, брошенного горизонтально. Это задача на движение тела под действием силы тяжести (свободное падение с начальной горизонтальной скоростью).

Дано:
Начальная горизонтальная скорость: \( v_{0x} = 20 \text{ м/с} \)
Время движения: \( t = 2 \text{ с} \)
Ускорение свободного падения: \( g \approx 10 \text{ м/с}^2 \) (принимаем стандартное значение, если не указано иное)

Найти:
Скорость камня через 2 секунды: \( v \)
Тангенциальное ускорение: \( a_t \)
Нормальное ускорение: \( a_n \)

1. Скорость камня через 2 секунды:

Движение камня можно разложить на две независимые составляющие: горизонтальное равномерное движение и вертикальное равноускоренное движение.

Горизонтальная скорость:
\( v_x = v_{0x} = 20 \text{ м/с} \) (остается постоянной, так как нет горизонтальных сил)

Вертикальная скорость:
\( v_y = v_{0y} + gt \)
Так как камень брошен горизонтально, начальная вертикальная скорость \( v_{0y} = 0 \).
\( v_y = 0 + 10 \text{ м/с}^2 \cdot 2 \text{ с} = 20 \text{ м/с} \)

Полная скорость камня:
Полная скорость является векторной суммой горизонтальной и вертикальной компонент: \( \vec{v} = \vec{v}_x + \vec{v}_y \).
Модуль скорости находится по теореме Пифагора:
\[ v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(20 \text{ м/с})^2 + (20 \text{ м/с})^2} = \sqrt{400 + 400} = \sqrt{800} = \sqrt{400 \cdot 2} = 20\sqrt{2} \text{ м/с} \approx 28.28 \text{ м/с} \]

2. Тангенциальное ускорение:

Тангенциальное ускорение связано с изменением модуля скорости. В данном случае, единственная сила, действующая на камень — это сила тяжести, которая направлена вертикально вниз. Эта сила вызывает ускорение свободного падения \( g \).
Тангенциальное ускорение — это проекция ускорения на касательную к траектории. В момент времени \( t = 2 \text{ с} \), ускорение \( \vec{a} = \vec{g} \).
Касательная к траектории в этот момент образует угол \( \alpha \) с горизонтом, где \( \tan{\alpha} = \frac{v_y}{v_x} = \frac{20}{20} = 1 \), то есть \( \alpha = 45^{\circ} \).
Тангенциальное ускорение: \( a_t = |\vec{a}| \cos{\alpha} = g \cos{45^{\circ}} = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \text{ м/с}^2 \approx 7.07 \text{ м/с}^2 \).

3. Нормальное ускорение:

Нормальное ускорение (или центростремительное ускорение) отвечает за изменение направления вектора скорости. Оно равно:
\[ a_n = \frac{v^2}{R} \]
где \( v \) — полная скорость, \( R \) — радиус кривизны траектории.
Также нормальное ускорение можно найти как проекцию вектора ускорения \( \vec{g} \) на нормаль к траектории.
\[ a_n = |\vec{a}| \sin{\alpha} = g \sin{45^{\circ}} = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \text{ м/с}^2 \approx 7.07 \text{ м/с}^2 \]

Альтернативный способ найти нормальное ускорение:
Радиус кривизны для параболической траектории определяется формулой: \( R = \frac{v^2}{g \cos{\phi}} \), где \( \phi \) — угол между вектором скорости и вертикалью. Или, проще, \( R = \frac{v^2}{a_n} \).
Рассмотрим также, что \( a_n = \sqrt{g^2 - a_t^2} \) (так как \( \vec{g} = \vec{a}_t + \vec{a}_n \) и \( \vec{a}_t \perp \vec{a}_n \)).
\[ a_n = \sqrt{(10 \text{ м/с}^2)^2 - (5\sqrt{2} \text{ м/с}^2)^2} = \sqrt{100 - 50} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \text{ м/с}^2 \approx 7.07 \text{ м/с}^2 \].

Ответ: Скорость камня через 2 секунды составляет \( 20\sqrt{2} \text{ м/с} \) (приблизительно \( 28.28 \text{ м/с} \)), тангенциальное ускорение равно \( 5\sqrt{2} \text{ м/с}^2 \) (приблизительно \( 7.07 \text{ м/с}^2 \)), а нормальное ускорение также равно \( 5\sqrt{2} \text{ м/с}^2 \) (приблизительно \( 7.07 \text{ м/с}^2 \)).