2. Катер прошел 48 км по течению реки и 36 км против течения, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки 2 км/ч.

Пусть v км/ч — собственная скорость катера. Тогда скорость по течению равна v + 2, а против течения — v − 2. При этом v > 2.

Составим уравнение по формуле «время = расстояние : скорость»:

48 / (v + 2) + 36 / (v − 2) = 5.

Умножим обе части на (v + 2)(v − 2):

48(v − 2) + 36(v + 2) = 5(v² − 4).

Раскроем скобки и перенесём всё в одну часть:

84v − 24 = 5v² − 20;

5v² − 84v + 4 = 0.

По формуле корней квадратного уравнения получаем: v = (84 ± √6976) / 10 = (42 ± 4√109) / 5. Меньший корень меньше 2 км/ч и не подходит, поскольку катер должен двигаться против течения.

Подходящий корень: v = (42 + 4√109) / 5 ≈ 16,75 км/ч.

Ответ: собственная скорость катера примерно 16,75 км/ч.