2. Катер прошел против течения 8 км и вернулся обратно, затратив на обратный путь на 30 мин меньше, чем при движении против течения. Определите собственную скорость катера, если скорость течения равна 4 км/ч.

Пусть \(v\) км/ч — собственная скорость катера. Тогда скорость против течения равна \(v-4\), а по течению — \(v+4\); при этом \(v>4\).

Время движения против течения: \(\dfrac{8}{v-4}\) ч. Время обратного пути: \(\dfrac{8}{v+4}\) ч. Обратный путь занял на 30 минут, то есть на \(0.5\) ч, меньше:

\[\frac{8}{v-4}-\frac{8}{v+4}=0.5.\]

Приведём левую часть к общему знаменателю:

\[\frac{64}{v^2-16}=0.5,\qquad v^2-16=128,\qquad v^2=144.\]

Получаем \(v=12\) или \(v=-12\). По смыслу задачи и условию \(v>4\), поэтому подходит только \(v=12\).

Проверка: против течения катер шёл \(8/(12-4)=1\) ч, обратно — \(8/(12+4)=0.5\) ч; разница составляет 30 минут.

Ответ: 12 км/ч.