2. Катер прошёл от одной пристани до другой, расстояние между которыми по реке равно 126 км, сделал стоянку на 1 ч 45 мин и вернулся обратно через 21 3/4 ч после начала поездки. Найдите скорость течения реки, если известно, что скорость катера в стоячей воде равна 15 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть \( v \) — скорость катера в стоячей воде, \( u \) — скорость течения реки.

Скорость катера по течению: \( v + u \).

Скорость катера против течения: \( v - u \).

Расстояние между пристанями: \( S = 126 \) км.

Время стоянки: \( T_{стоянки} = 1 \) ч \( 45 \) мин \( = 1,75 \) ч.

Общее время поездки: \( T_{общ} = 21 \frac{3}{4} \) ч \( = 21,75 \) ч.

Время движения катера: \( T_{движ} = T_{общ} - T_{стоянки} = 21,75 - 1,75 = 20 \) ч.

Время движения по течению и против течения:

• Время движения по течению: \( t_1 = \frac{S}{v+u} = \frac{126}{15+u} \) ч.
• Время движения против течения: \( t_2 = \frac{S}{v-u} = \frac{126}{15-u} \) ч.
• Общее время движения: \( t_1 + t_2 = T_{движ} \)

\[ \frac{126}{15+u} + \frac{126}{15-u} = 20 \]

Разделим обе части уравнения на 2:

\[ \frac{63}{15+u} + \frac{63}{15-u} = 10 \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{63(15-u) + 63(15+u)}{(15+u)(15-u)} = 10 \]

\[ \frac{945 - 63u + 945 + 63u}{225 - u^2} = 10 \]

\[ \frac{1890}{225 - u^2} = 10 \]

\[ 1890 = 10(225 - u^2) \]

\[ 189 = 225 - u^2 \]

\[ u^2 = 225 - 189 \]

\[ u^2 = 36 \]

\[ u = \sqrt{36} = 6 \]

Так как \( u \) — скорость течения, она должна быть положительной.

Проверка:

Скорость по течению: \( 15 + 6 = 21 \) км/ч. Время: \( 126 / 21 = 6 \) ч.

Скорость против течения: \( 15 - 6 = 9 \) км/ч. Время: \( 126 / 9 = 14 \) ч.

Общее время движения: \( 6 + 14 = 20 \) ч. Общее время с остановкой: \( 20 + 1,75 = 21,75 \) ч. Всё верно.

Ответ: 6 км/ч.