2. Катер прошёл расстояние между двумя портами за 3 ч, а теплоход это же расстояние — за 5 ч. Найдите скорость катера и скорость теплохода, если скорость катера на 16 км/ч больше скорости теплохода.

Решение:

Пусть \( v_{т} \) — скорость теплохода (км/ч), а \( v_{к} \) — скорость катера (км/ч).

По условию задачи:

• Скорость катера на 16 км/ч больше скорости теплохода: \( v_{к} = v_{т} + 16 \)
• Расстояние, которое прошёл теплоход за 5 часов: \( S = v_{т} \cdot 5 \)
• Расстояние, которое прошёл катер за 3 часа: \( S = v_{к} \cdot 3 \)

Так как расстояния одинаковы, приравниваем:

\( v_{т} \cdot 5 = v_{к} \cdot 3 \)

Подставляем выражение для \( v_{к} \):

\( 5v_{т} = (v_{т} + 16) \cdot 3 \)

Раскрываем скобки:

\( 5v_{т} = 3v_{т} + 48 \)

Переносим \( v_{т} \) в одну сторону:

\( 5v_{т} - 3v_{т} = 48 \)

\( 2v_{т} = 48 \)

Находим скорость теплохода:

\( v_{т} = \frac{48}{2} = 24 \) км/ч

Теперь находим скорость катера:

\( v_{к} = v_{т} + 16 = 24 + 16 = 40 \) км/ч

Проверим расстояние:

Теплоход: \( 24 \text{ км/ч} \cdot 5 \text{ ч} = 120 \text{ км} \)

Катер: \( 40 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 120 \text{ км} \)

Расстояния равны.

Ответ: скорость катера 40 км/ч, скорость теплохода 24 км/ч.