2. Колесо радиуса R без проскальзывания катится по горизонтальной поверхности. От точки A колеса отрывается капелька грязи. С какой минимальной скоростью движется колесо, если капелька, побывав в воздухе, снова опустилась на то же самое место колеса?

Обозначим скорость движения колеса через \(v\). Колесо катится вправо, поэтому вращается по часовой стрелке.

1. При качении без проскальзывания угловая скорость колеса равна \(\omega=\frac{v}{R}\). В точке A, находящейся слева на горизонтальном диаметре, скорость вращения направлена вверх и равна \(v\). Поэтому начальная вертикальная скорость капли равна \(v\).

2. Капля возвращается на высоту точки отрыва через время полёта \(t=\frac{2v}{g}\).

3. Чтобы попасть на то же самое место колеса, капля должна провести в воздухе не меньше одного полного оборота колеса. Время одного оборота: \(T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi R}{v}\). За это время капля по горизонтали проходит \(vT=2\pi R\), что совпадает с перемещением колеса за оборот.

4. При минимальной скорости время полёта равно времени одного оборота: \(\frac{2v}{g}=\frac{2\pi R}{v}\). Отсюда \(v^2=\pi Rg\).

Ответ: \(v_{\min}=\sqrt{\pi Rg}\).