2. Кусок проволоки длиной 110 см надо разрезать на куски длиной 15 см и 10 см так, чтобы не осталось обрезков. Как вы считаете, можно ли выполнить поставленную задачу, если будет отрезано 6 кусков длиной 15 см? Каким может быть число 15-сантиметровых отрезаний? Найдите все решения задачи и запишите их в виде числовых выражений.

Если отрезать 6 кусков по 15 см, на них уйдёт \(6 \cdot 15 = 90\) см. Останется \(110 - 90 = 20\) см, то есть можно отрезать ещё два куска по 10 см. Следовательно, такой вариант возможен.

Пусть \(x\) — число кусков по 15 см, а \(y\) — число кусков по 10 см. Тогда \(15x + 10y = 110\), или после деления на 5: \(3x + 2y = 22\). Неотрицательные целые решения: \((x,y)=(0,11),(2,8),(4,5),(6,2)\). Значение \(x=8\) невозможно, так как на такие куски потребовалось бы 120 см.

Все решения в виде числовых выражений:

1. \(110 = 11 \cdot 10\) — 0 кусков по 15 см и 11 кусков по 10 см;
2. \(110 = 2 \cdot 15 + 8 \cdot 10\);
3. \(110 = 4 \cdot 15 + 5 \cdot 10\);
4. \(110 = 6 \cdot 15 + 2 \cdot 10\).

Ответ: при шести 15-сантиметровых отрезаниях задача выполнима; возможное число таких отрезаний — 0, 2, 4 или 6.