2) log_{4}(x-2) < 2

Решение:

Для решения логарифмического неравенства \( \log_{4}(x-2) < 2 \) необходимо учесть область определения логарифма и свойства логарифмической функции.

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ): Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля. \( x-2 > 0 \) \( \Rightarrow \) \( x > 2 \).
2. Применим свойства логарифмической функции: Так как основание логарифма \( 4 > 1 \), функция \( \log_{4}(x) \) является возрастающей. Это означает, что при снятии логарифма знак неравенства сохраняется.
3. Преобразуем неравенство: Представим число 2 в виде логарифма по основанию 4: \( 2 = \log_{4}(4^2) = \log_{4}(16) \).
4. Решим неравенство: \( \log_{4}(x-2) < \log_{4}(16) \) \( \Rightarrow \) \( x-2 < 16 \) \( \Rightarrow \) \( x < 18 \).
5. Объединим решение с ОДЗ: Мы получили два условия: \( x > 2 \) и \( x < 18 \). Объединяя их, получаем интервал \( 2 < x < 18 \).

Ответ: \( (2; 18) \).