2. Лучи АВ и АС касаются окружности с центром О в точках В и С, ∠BAC = 68°. Найдите ∠ОСВ.

Решение:

1. Так как АВ и АС — касательные к окружности, проведенные из одной точки А, то АВ = АС.
2. Треугольник АВС равнобедренный.
3. Угол ∠АВС = ∠АСВ = (180° - ∠BAC) / 2 = (180° - 68°) / 2 = 112° / 2 = 56°.
4. Рассмотрим треугольник ОВС. ОВ = ОС (радиусы окружности). Треугольник ОВС равнобедренный.
5. Угол ∠ОВС = ∠ОСВ.
6. Так как АВ — касательная к окружности в точке В, то радиус ОВ перпендикулярен касательной. ∠АВО = 90°.
7. Аналогично, так как АС — касательная к окружности в точке С, то радиус ОС перпендикулярен касательной. ∠АСО = 90°.
8. Угол ∠ВАС = 68°, ∠BAC = 68°.
9. В четырехугольнике АВОС сумма углов равна 360°. ∠ВОС + ∠АВО + ∠BAC + ∠АСО = 360°.
10. ∠ВОС + 90° + 68° + 90° = 360°.
11. ∠ВОС = 360° - 90° - 90° - 68° = 122°.
12. В равнобедренном треугольнике ОВС: ∠ОВС + ∠ОСВ + ∠ВОС = 180°.
13. 2 * ∠ОСВ + 122° = 180°.
14. 2 * ∠ОСВ = 180° - 122° = 58°.
15. ∠ОСВ = 58° / 2 = 29°.

Ответ: ∠ОСВ = 29°.