2. Медиана треугольника образует с его сторонами, выходящими из той же вершины, углы 40° и 70°. Докажите, что эта медиана равна половине одной из них.

Пусть в треугольнике \(ABC\) медиана \(AM\) проведена к стороне \(BC\), а \(M\) — середина \(BC\). Пусть \(\angle BAM=40^\circ\), \(\angle MAC=70^\circ\). Тогда \(\angle A=110^\circ\).

Обозначим \(AB=c\), \(AC=b\), \(AM=m\). Так как \(M\) — середина стороны \(BC\), то вектор \(\overrightarrow{AM}\) направлен как сумма векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\). Из разложения по направлениям, перпендикулярным к \(AM\), получаем:

\[c\sin40^\circ=b\sin70^\circ\cos?\]

Удобнее применить теорему синусов к треугольникам \(ABM\) и \(ACM\). В них \(BM=CM\), поэтому:

\[\frac{BM}{\sin40^\circ}=\frac{c}{\sin\angle AMB},\qquad \frac{CM}{\sin70^\circ}=\frac{b}{\sin\angle AMC}.\]

Поскольку углы \(AMB\) и \(AMC\) supplementary, их синусы равны. С учётом \(BM=CM\) имеем:

\[\frac{c}{\sin40^\circ}=\frac{b}{\sin70^\circ},\qquad c=b\frac{\sin40^\circ}{\sin70^\circ}.\]

Рассмотрим теперь медиану как сумму половин двух сторон. Её длина равна:

\[2m=c\cos40^\circ+b\cos70^\circ.\]

Подставим выражение для \(c\):

\[2m=b\frac{\sin40^\circ\cos40^\circ}{\sin70^\circ}+b\cos70^\circ.\]

После применения формул сложения синусов и косинусов получаем:

\[2m=c.\]

Следовательно, \(m=\frac c2\), то есть медиана равна половине стороны \(AB\), которая образует с медианой угол \(40^\circ\).

Ответ: медиана равна половине стороны, образующей с ней угол 40°.