2. Медианы AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке M. Найдите величину угла BAC, если известно, что ∠ACB = 47° и AC = 3BM.

Обозначим длину медианы BB₁ через m. Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины, поэтому BM = ⅔m.

Из условия AC = 3BM, значит AC = 2m, то есть медиана BB₁ равна половине стороны AC.

По теореме Аполлония для медианы BB₁:

\[m^2=\frac{2AB^2+2BC^2-AC^2}{4}.\]

Так как AC = 2m, подставим m = AC/2:

\[\frac{AC^2}{4}=\frac{2AB^2+2BC^2-AC^2}{4},\qquad AC^2=AB^2+BC^2.\]

По обратной теореме Пифагора угол B прямой. Тогда сумма углов треугольника даёт:

\[\angle BAC=180^\circ-90^\circ-47^\circ=43^\circ.\]

Ответ: 43°.