2. Моторная лодка прошла 36 км по течению реки и вернулась обратно, потратив на весь путь 5 часов. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найдите скорость лодки в неподвижной воде.

Решение:

Пусть \( v_{лодки} \) — скорость моторной лодки в неподвижной воде (в км/ч).

Скорость течения реки \( v_{тек} = 3 \) км/ч.

Скорость лодки по течению: \( v_{по теч} = v_{лодки} + v_{тек} = v_{лодки} + 3 \) км/ч.

Скорость лодки против течения: \( v_{против теч} = v_{лодки} - v_{тек} = v_{лодки} - 3 \) км/ч.

Расстояние в одну сторону \( S = 36 \) км.

Время движения по течению: \( t_{по теч} = \frac{S}{v_{по теч}} = \frac{36}{v_{лодки} + 3} \) часов.

Время движения против течения: \( t_{против теч} = \frac{S}{v_{против теч}} = \frac{36}{v_{лодки} - 3} \) часов.

Общее время в пути \( t_{общ} = 5 \) часов.

\( t_{по теч} + t_{против теч} = t_{общ} \)

\( \frac{36}{v_{лодки} + 3} + \frac{36}{v_{лодки} - 3} = 5 \)

Разделим обе части уравнения на 36:

\( \frac{1}{v_{лодки} + 3} + \frac{1}{v_{лодки} - 3} = \frac{5}{36} \)

Приведем левую часть к общему знаменателю:

\( \frac{(v_{лодки} - 3) + (v_{лодки} + 3)}{(v_{лодки} + 3)(v_{лодки} - 3)} = \frac{5}{36} \)

\( \frac{2v_{лодки}}{v_{лодки}^2 - 9} = \frac{5}{36} \)

Перемножим крест-накрест:

\( 36 \cdot 2v_{лодки} = 5(v_{лодки}^2 - 9) \)

\( 72v_{лодки} = 5v_{лодки}^2 - 45 \)

\( 5v_{лодки}^2 - 72v_{лодки} - 45 = 0 \)

Решим квадратное уравнение для \( v_{лодки} \).

Дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-72)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-45) = 5184 + 900 = 6084 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{6084} = 78 \)

\( v_{лодки} = \frac{-b \cdot \sqrt{D}}{2a} \)

\( v_{лодки1} = \frac{72 + 78}{2 \cdot 5} = \frac{150}{10} = 15 \)

\( v_{лодки2} = \frac{72 - 78}{10} = \frac{-6}{10} = -0.6 \)

Так как скорость не может быть отрицательной, \( v_{лодки} = 15 \) км/ч.

Ответ: 15 км/ч.