2. Можно ли обойти все рёбра куба, пройдя по каждому ребру ровно один раз?

Решение:

Эта задача сводится к поиску Эйлерова пути или цикла в графе. Представим куб как граф, где вершины — это углы куба, а рёбра — это рёбра куба.

У куба 8 вершин. Степень каждой вершины (количество рёбер, выходящих из неё) равна 3.

Теорема Эйлера гласит:

• Граф имеет Эйлеров цикл тогда и только тогда, когда степень каждой вершины чётна.
• Граф имеет Эйлеров путь (но не цикл) тогда и только тогда, когда ровно две вершины имеют нечётную степень.

В графе, соответствующем кубу, все 8 вершин имеют нечётную степень (равную 3).

Поскольку в графе больше двух вершин с нечётной степенью, ни Эйлеров цикл, ни Эйлеров путь не существуют.

Следовательно, обойти все рёбра куба, пройдя по каждому ровно один раз, невозможно.

Ответ: Нет, нельзя.