2) Можно ли расставить в таблице 4×4 различные натуральные числа от 1 до 16 так, чтобы во всех квадратиках 2×2 сумма чисел делилась на 16?

Предположим, что такая таблица существует. Рассмотрим любые два соседних квадратика 2×2 в одной строке. Их суммы обе делятся на 16, значит, разность сумм тоже делится на 16. При переходе от левого квадратика к правому два общих числа сокращаются; остаются разность сумм двух новых чисел и двух чисел в столбце, который они заменили.

Каждая такая сумма двух различных чисел из множества от 1 до 16 лежит от 3 до 31. Разность двух таких сумм по модулю меньше 16, поэтому, если она делится на 16, она обязана быть равна нулю. Следовательно, суммы чисел в любом столбце из двух соседних клеток должны совпадать с суммами в следующем столбце. Аналогично, сравнение соседних квадратиков по вертикали показывает, что суммы в каждой паре соседних клеток любой строки одинаковы.

Тогда в каждом квадратике 2×2, составленном из двух соседних строк и двух соседних столбцов, сумма равна удвоенной сумме двух клеток в левом верхнем столбце этого квадратика. Поскольку сумма должна делиться на 16, сумма этих двух клеток должна делиться на 8.

Но условие для квадратиков, расположенных рядом по горизонтали, также означает, что суммы двух клеток в каждой паре соседних столбцов одной строки одинаковы. Значит, для любой строки её соседние пары клеток должны иметь одну и ту же сумму. Это невозможно: из равенств клеток попарных сумм следует, что значения в столбцах 1 и 3 равны, а числа в таблице должны быть различными.

Ответ: нет, расставить числа таким образом нельзя.