2. На диагонали AC параллелограмма ABCD отметили точки P и K так, что AP = CK (точка P лежит между точками A и K). Докажите, что ∠ADP = ∠CBK.

Обозначим через \(O\) точку пересечения диагоналей параллелограмма.

1. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому \(OA=OC\).

2. Точки \(P\) и \(K\) лежат на диагонали \(AC\), причём \(AP=CK\). Следовательно, точки \(P\) и \(K\) симметричны относительно точки \(O\): \(OP=OK\), а направления лучей \(OP\) и \(OK\) противоположны.

3. При центральной симметрии относительно точки \(O\) вершина \(A\) переходит в \(C\), вершина \(D\) — в \(B\), а точка \(P\) — в точку \(K\).

4. Центральная симметрия сохраняет величину углов. Поэтому образ угла \(ADP\) — это угол \(CBK\).

Следовательно, \(\angle ADP=\angle CBK\).

Что и требовалось доказать.