2) На диагонали BD прямоугольника ABCD отметили равные отрезки BM и DN. а) Докажите, что △ABM = △CDN. б) Определите вид четырёхугольника AMCN.

а) Доказательство.

1. В прямоугольнике противоположные стороны равны: AB = CD.
2. По условию: BM = DN.
3. Так как AB ∥ CD, а точки B, M, N, D лежат на одной диагонали BD, то углы между этими сторонами и диагональю равны: ∠ABM = ∠CDN.
4. Следовательно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними: △ABM = △CDN по признаку СУС.

Из равенства треугольников следует, что AM = CN.

б) Рассмотрим диагонали четырёхугольника AMCN: это отрезки AC и MN.

1. Диагонали прямоугольника AC и BD пересекаются и делятся пополам.
2. Так как BM = DN, точки M и N расположены на диагонали BD симметрично относительно её середины. Значит, середина отрезка MN совпадает с серединой диагонали AC.
3. Следовательно, диагонали AC и MN четырёхугольника AMCN делятся точкой пересечения пополам.

Если диагонали четырёхугольника делятся пополам, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

Ответ: AMCN — параллелограмм.