№ 2. На двух тонких вертикальных нитях на одной высоте висят два шарика. Между шариками расположена лёгкая пружина, её концы связаны нитью, которая не даёт пружине разжаться. Когда связывающую нить перерезают, пружина выпрямляется, расталкивает шарики в противоположные стороны и падает вниз. В результате этого шарики отклоняются на одинаковые углы. Найдите отношение масс шариков m₂/m₁, если отношение длин нитей L₁/L₂ = 3. Принять величину сжатия пружины во много раз меньше длин нитей. Какие физические законы Вы использовали при решении задачи? Обоснуйте их применение в данном случае.

Обозначим скорости шариков сразу после освобождения пружины через v₁ и v₂.

1. Закон сохранения импульса. Время действия пружины очень мало, так как её сжатие значительно меньше длин нитей. Поэтому перемещением шариков и действием силы тяжести за это время можно пренебречь. В начальный момент нити вертикальны, поэтому их натяжение не имеет горизонтальной составляющей. Следовательно, для горизонтального направления:
   \(m_1v_1=m_2v_2\).
   Отсюда \(\dfrac{m_2}{m_1}=\dfrac{v_1}{v_2}\).
2. Закон сохранения механической энергии. После освобождения пружины её энергия переходит в кинетическую энергию шариков, а затем — в их потенциальную энергию. Натяжение нитей работы не совершает, поскольку направлено вдоль нитей, а движение шариков происходит по дугам окружностей.
3. При подъёме шарика на угол \(\theta\) его высота увеличивается на
   \(h_i=L_i(1-\cos\theta)\).
   Так как оба шарика отклоняются на одинаковый угол, \(\theta\) один и тот же для обоих шариков. Для каждого шарика:
   \[\frac{m_iv_i^2}{2}=m_igL_i(1-\cos\theta).\]
   После сокращения массы:
   \[v_i^2=2gL_i(1-\cos\theta).\]

Разделив полученные выражения для скоростей, получим:

\[\frac{v_1}{v_2}=\sqrt{\frac{L_1}{L_2}}=\sqrt{3}.\]

Из закона сохранения импульса:

\[\frac{m_2}{m_1}=\frac{v_1}{v_2}=\sqrt{3}.\]

Ответ: \(\dfrac{m_2}{m_1}=\sqrt{3}\).

Использованы закон сохранения импульса и закон сохранения механической энергии. Применение первого обосновано кратковременностью действия пружины и отсутствием горизонтального внешнего импульса, второго — отсутствием потерь энергии и нулевой работой натяжения нитей.