2. На катете AC прямоугольного треугольника ABC (∠C = 90°) как на диаметре построена полусфера, пересекающая гипотенузу AB в точке D. Найдите CD, если AD = 4 см, BD = 9 см.

Поскольку точка D лежит на полусфере, построенной на AC как на диаметре, по теореме Фалеса ∠ADC = 90°. Значит, CD — высота, опущенная из прямого угла C на гипотенузу AB.

Для высоты прямоугольного треугольника верно: квадрат высоты равен произведению отрезков гипотенузы, на которые она её делит.

AB = AD + DB = 4 + 9 = 13 см.

CD² = AD · DB = 4 · 9 = 36 см², поэтому CD = 6 см.

Ответ: 6 см.