2. На медиане BM равнобедренного треугольника ABC с основанием AC отметили точку O. Докажите, что треугольник AOC равнобедренный.

Поскольку BM — медиана, точка M — середина AC, значит, \(AM = MC\). Также по условию \(AB = BC\), а сторона \(BM\) общая для треугольников \(ABM\) и \(CBM\). Поэтому эти треугольники равны по трём сторонам.

Из равенства треугольников следует, что \(\angle AMB = \angle BMC\). Эти углы смежные, поэтому каждый из них прямой. Так как точка O лежит на медиане BM, то \(MO \perp AC\), и треугольники \(AMO\) и \(CMO\) прямоугольные.

В этих треугольниках \(AM = MC\), а \(MO\) — общая сторона. Следовательно, треугольники \(AMO\) и \(CMO\) равны, откуда \(AO = CO\). Значит, треугольник \(AOC\) равнобедренный.