2. На медиане BM треугольника ABC взяли точку K так, что угол AKM равен углу MBC. Докажите, что отрезок AK равен одной из сторон треугольника.

Так как BM — медиана треугольника ABC, точка M является серединой AC, поэтому AM = MC.

Рассмотрим треугольники AKM и CBM.

1. Углы ∠AMK и ∠CMB равны как вертикальные углы: прямые AC и BM пересекаются в точке M.
2. По условию ∠AKM = ∠MBC.

Следовательно, треугольники AKM и CBM подобны по двум углам:

\(\triangle AKM \sim \triangle CBM\).

При этом стороне AM соответствует сторона CM. Но \(AM = CM\), значит, коэффициент подобия равен 1. Поэтому соответствующие стороны равны:

\(AK = CB\).

Ответ: \(AK = BC\), то есть отрезок AK равен стороне BC треугольника ABC.