2) На некоторой прямой a выбрана точка O. Точка A не принадлежит этой прямой. Точка A₁ симметрична точке A относительно центра O, а точка A₂ симметрична точке A₁ относительно оси a. Докажите, что точки A и A₂ симметричны относительно прямой, перпендикулярной прямой a и проходящей через точку O.

Проведём через O перпендикулярную прямую и выберем её за ось x, а прямую a — за ось y. Пусть координаты точки A равны (x, y).

1. Симметрия относительно центра O меняет знаки обеих координат: A₁ = (−x, −y).
2. Симметрия относительно оси a, то есть оси y, меняет знак первой координаты: A₂ = (x, −y).
3. Точки A = (x, y) и A₂ = (x, −y) имеют одинаковую координату x, а их координаты y противоположны. Значит, они симметричны относительно оси x — прямой, перпендикулярной a и проходящей через O.

Что и требовалось доказать.