2. На окружности с центром О отмечены две точки М и N так, что угол MON прямой. Отрезок MP — диаметр окружности. Докажите, что хорды MN и MP равны. Найдите угол MPN.

Решение:

1. Поскольку угол MON прямой, он равен \( 90^{\circ} \). Треугольник MON — равнобедренный, так как OM и ON — радиусы окружности. Следовательно, \( \angle OMN = \angle ONM = \frac{180^{\circ} - 90^{\circ}}{2} = 45^{\circ} \).

2. MP — диаметр окружности. Угол MNP — вписанный угол, опирающийся на диаметр, значит, он прямой: \( \angle MNP = 90^{\circ} \).

3. Треугольник MNP — прямоугольный. Мы знаем, что \( \angle NMP = 45^{\circ} \). Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \). Следовательно, \( \angle MPN = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \).

4. Так как \( \angle NMP = \angle MPN = 45^{\circ} \), треугольник MNP является равнобедренным. Следовательно, стороны, лежащие напротив равных углов, равны: MN = NP. Однако, условие гласит, что нужно доказать равенство хорд MN и MP, а они не равны, так как MP — диаметр, а MN — хорда (меньше диаметра). Вероятно, в условии ошибка, и требовалось доказать равенство MN и NP.

Ответ: \( \angle MPN = 45^{\circ} \). Доказано равенство MN = NP.