2. На окружности с центром О отмечены две точки М и N так, что угол MON прямой. Отрезок NP — диаметр окружности. Докажите, что хорды MN и MP равны. Найдите угол PMN.

Доказательство:

1. Угол \( MON \) — прямой, значит, \( \angle MON = 90^{\circ} \).
2. Так как \( M \) и \( N \) лежат на окружности, \( OM = ON \) (радиусы). Следовательно, \( \triangle MON \) — равнобедренный.
3. Угол \( MON \) является центральным углом, опирающимся на дугу \( MN \).
4. \( NP \) — диаметр окружности. Угол \( MNP \) вписан и опирается на диаметр, значит, \( \angle MNP = 90^{\circ} \) (прямой угол).
5. В прямоугольном треугольнике \( MNP \) сумма острых углов равна \( 90^{\circ} \), то есть \( \angle MPN + \angle PMN = 90^{\circ} \).
6. Рассмотрим \( \triangle OMP \) и \( \triangle OMN \). \( OM = OP = ON \) (радиусы).
7. В \( \triangle MON \) (равнобедренном с \( OM=ON \) и \( \angle MON = 90^{\circ} \)), углы при основании \( MN \) равны: \( \angle OMN = \angle ONM = \frac{180^{\circ} - 90^{\circ}}{2} = 45^{\circ} \).
8. Так как \( NP \) — диаметр, \( \angle NOP = 180^{\circ} \).
9. \( \angle MON = 90^{\circ} \), следовательно, \( \angle MOP = \angle NOP - \angle MON = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \).
10. \( \triangle MOP \) — равнобедренный, так как \( OM = OP \) (радиусы) и \( \angle MOP = 90^{\circ} \).
11. Углы при основании \( MP \) равны: \( \angle OMP = \angle OPM = \frac{180^{\circ} - 90^{\circ}}{2} = 45^{\circ} \).
12. Следовательно, хорды \( MN \) и \( MP \) равны, так как они стягивают равные центральные углы \( \angle MON = \angle MOP = 90^{\circ} \) (или равные дуги).
13. Угол \( PMN = \angle OMP + \angle OMN = 45^{\circ} + 45^{\circ} = 90^{\circ} \).

Ответ: хорды \( MN \) и \( MP \) равны; \( \angle PMN = 90^{\circ} \).