№2. На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что ∠AOB = 130°. Прямая ВС касается окружности в точке В так, что ∠ABC - острый. Найдите ∠ABC. Ответ дайте в градусах (см. рис.).

Дано:

• Окружность с центром O.
• Точки A и B на окружности.
• ∠AOB = 130°.
• Прямая BC - касательная к окружности в точке B.
• ∠ABC - острый.

Найти: ∠ABC

Решение:

1. Теорема о касательной и радиусе: Радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, OB ⊥ BC, и ∠OBC = 90°.
2. Угол ABC: Угол ABC состоит из угла OBA и угла OBC. ∠ABC = ∠OBC - ∠OBA.
3. Треугольник AOB: Треугольник AOB является равнобедренным, так как OA = OB (радиусы окружности).
4. Нахождение ∠OBA: Сумма углов в треугольнике AOB равна 180°. Угол ∠OAB = ∠OBA.
5. Расчет ∠OBA: ∠OAB + ∠OBA + ∠AOB = 180°. 2 * ∠OBA + 130° = 180°. 2 * ∠OBA = 180° - 130° = 50°. ∠OBA = 50° / 2 = 25°.
6. Расчет ∠ABC: ∠ABC = ∠OBC - ∠OBA = 90° - 25° = 65°.
7. Проверка: Угол ∠ABC = 65°, что является острым углом, как указано в условии.

Ответ: 65°