2. На основании AC равнобедренного треугольника ABC отмечены точки P и Q так, что AP = CQ. Докажите, что треугольник PBQ равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC боковые стороны равны: AB = BC. Углы при основании также равны: ∠BAC = ∠BCA.

Поскольку P и Q лежат на AC, ∠BAP = ∠BAC, а ∠BCQ = ∠BCA. Значит, ∠BAP = ∠BCQ.

По условию AP = CQ. Таким образом, треугольники BAP и BCQ равны по двум сторонам и углу между ними: AB = BC, AP = CQ, ∠BAP = ∠BCQ. Отсюда BP = BQ.

Ответ: треугольник PBQ равнобедренный, PB = BQ.