2. На отрезке AB, который не пересекает прямой a, отметили точку C. Через точки A, B и C провели параллельные прямые, пересекающие прямую a в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно. Докажите, что точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой. Найдите отрезок B₁C₁, если AC = 7 см, BC = 21 см, A₁C₁ = 12 см.

Поскольку прямые через A, B и C параллельны, они пересекают прямые AB и a по соответствующим точкам. По теореме Фалеса точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой.

По той же теореме соответствующие отрезки пропорциональны: \(\frac{A_1C_1}{B_1C_1}=\frac{AC}{BC}\).

Подставим данные: \(\frac{12}{B_1C_1}=\frac{7}{21}=\frac{1}{3}\), откуда \(B_1C_1=36\) см.

Ответ: точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой; B₁C₁ = 36 см.