2. На плот массой 100 кг, имеющий скорость 1 м/с, направленную вдоль берега, прыгает человек массой 50 кг со скоростью 1,5 м/с перпендикулярно берегу. Какой будет общая скорость

Решение:

Применяем закон сохранения импульса в векторной форме, так как скорости направлены перпендикулярно друг другу.

Система: плот + человек.

1. Дано:
   Масса плота: \( m_{\text{пл}} = 100 \text{ кг} \)
   Скорость плота: \( \vec{v}_{\text{пл}} \) (вдоль берега, примем ось X)
   \( |\vec{v}_{\text{пл}}| = 1 \text{ м/с} \)
   Масса человека: \( m_{\text{ч}} = 50 \text{ кг} \)
   Скорость человека: \( \vec{v}_{\text{ч}} \) (перпендикулярно берегу, примем ось Y)
   \( |\vec{v}_{\text{ч}}| = 1.5 \text{ м/с} \)
   Найти:
   Общая скорость плота и человека после прыжка: \( \vec{v} \)
2. Импульс до:
   Импульс плота: \( \vec{p}_{\text{пл}} = m_{\text{пл}} \vec{v}_{\text{пл}} \)
   Импульс человека: \( \vec{p}_{\text{ч}} = m_{\text{ч}} \vec{v}_{\text{ч}} \)
   Общий импульс: \( \vec{p}_{\text{до}} = \vec{p}_{\text{пл}} + \vec{p}_{\text{ч}} \)
3. Импульс после:
   Плот и человек движутся вместе как единое целое.
   Общая масса: \( m_{\text{общ}} = m_{\text{пл}} + m_{\text{ч}} = 100 \text{ кг} + 50 \text{ кг} = 150 \text{ кг} \)
   Общий импульс: \( \vec{p}_{\text{после}} = m_{\text{общ}} \vec{v} = (m_{\text{пл}} + m_{\text{ч}}) \vec{v} \)
4. Закон сохранения импульса: \( \vec{p}_{\text{до}} = \vec{p}_{\text{после}} \)
   \[ m_{\text{пл}} \vec{v}_{\text{пл}} + m_{\text{ч}} \vec{v}_{\text{ч}} = (m_{\text{пл}} + m_{\text{ч}}) \vec{v} \]
5. Проекции на оси:
   По оси X (вдоль берега):
   \[ m_{\text{пл}} |\vec{v}_{\text{пл}}| + 0 = (m_{\text{пл}} + m_{\text{ч}}) v_x \)
   \[ 100 \text{ кг} · 1 \text{ м/с} = 150 \text{ кг} · v_x \)
   \[ v_x = \frac{100}{150} \text{ м/с} = \frac{2}{3} \text{ м/с} \]
   По оси Y (перпендикулярно берегу):
   \[ 0 + m_{\text{ч}} |\vec{v}_{\text{ч}}| = (m_{\text{пл}} + m_{\text{ч}}) v_y \)
   \[ 50 \text{ кг} · 1.5 \text{ м/с} = 150 \text{ кг} · v_y \)
   \[ 75 = 150 v_y \)
   \[ v_y = \frac{75}{150} \text{ м/с} = \frac{1}{2} \text{ м/с} = 0.5 \text{ м/с} \]
6. Находим общую скорость:
   Общая скорость \( v \) — это модуль вектора \( \vec{v} = (v_x, v_y) \).
   \[ |\vec{v}| = &sqrt{v_x^2 + v_y^2} = &sqrt{\left(\frac{2}{3}\right)^2 + (0.5)^2} \)
   \[ |\vec{v}| = &sqrt{\frac{4}{9} + &\frac{1}{4}} = &sqrt{\frac{16 + 9}{36}} = &sqrt{\frac{25}{36}} = \frac{5}{6} \text{ м/с} \]

Ответ: Общая скорость плота и человека будет равна &frac;5⁄6 м/с.