2) На продолжении диагонали BD прямоугольника ABCD отложены равные отрезки BM и DK. а) Докажите, что ΔABM = ΔCDK. б) Определите вид четырёхугольника AMCK.

Поскольку M и K лежат на продолжениях диагонали BD за точки B и D, лучи BM и DK направлены в противоположные стороны. В прямоугольнике AB = CD, а по условию BM = DK. Кроме того, AB ⟂ BD и CD ⟂ BD, поэтому ∠ABM = ∠CDK = 90°.

Следовательно, ΔABM = ΔCDK по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства треугольников следует, что AM = CK. При этом AM и CK параллельны: это соответствующие стороны равных прямоугольных треугольников, расположенных по разные стороны диагонали. Значит, в четырёхугольнике AMCK одна пара противоположных сторон равна и параллельна, поэтому AMCK — параллелограмм.

Ответ: а) ΔABM = ΔCDK; б) AMCK — параллелограмм.