2. На прямой отмечены точки A и B так, что AB = 7. Укажите на данной прямой расположение точки (или множества точек) C, удовлетворяющих условию: а) AC < BC; б) AC + CB = 9; в) CB − AC = 3; г) CB = 3AC.

Выберем координаты: пусть A имеет координату 0, а B — 7. Тогда AC = |x|, CB = |x − 7|, где x — координата C.

а) AC < BC. Точка, равноудалённая от A и B, — середина отрезка AB с координатой 3,5. Ближе к A расположены все точки левее середины: x < 3,5.

б) AC + CB = 9. Между A и B сумма расстояний равна 7, поэтому решения лежат вне отрезка AB. Слева от A: (−x) + (7 − x) = 9, откуда x = −1. Справа от B: x + (x − 7) = 9, откуда x = 8.

в) CB − AC = 3. На отрезке AB имеем CB = 7 − x и AC = x. Тогда (7 − x) − x = 3, откуда x = 2. Вне отрезка разность равна 7 или −7, поэтому других решений нет.

г) CB = 3AC. Рассмотрим расположение C по отношению к A и B. Если x ≤ 0, уравнение 7 − x = 3(−x) даёт x = −3,5. Если 0 ≤ x ≤ 7, уравнение 7 − x = 3x даёт x = 1,75. При x ≥ 7 уравнение x − 7 = 3x не имеет решений в этой области.

Ответ: а) все точки с x < 3,5; б) x = −1 и x = 8; в) x = 2; г) x = −3,5 и x = 1,75.