№2. На рис. 23 ABCD — прямоугольник, AM = MD. Найдите стороны прямоугольника, если его периметр равен 42 см.

Обозначим \(AM = MD = a\), а высоту прямоугольника \(AB = h\). Тогда \(AD = 2a\). По рисунку \(BM \perp CM\).

Рассмотрим векторы из точки M: \(\overrightarrow{MB}=(-a,h)\), \(\overrightarrow{MC}=(a,h)\). Перпендикулярность означает, что их скалярное произведение равно нулю:

\((-a)\cdot a + h\cdot h = 0\), откуда \(h^2=a^2\). Поскольку длины положительны, \(h=a\). Поэтому \(AD=2h\).

Периметр равен 42 см:

\(2(AD+AB)=42\), значит \(AD+AB=21\).

Подставим \(AD=2h\) и \(AB=h\): \(3h=21\), откуда \(h=7\) см. Тогда \(AD=14\) см.

Ответ: стороны прямоугольника — 7 см и 14 см.