2. На рис. 97 (а—в) изображены окружности с центром в точке O, вписанные в треугольник ABC. По данным на рисунке вычислите радиус вписанной окружности: а) ∠A = 60°, AO = 4√3; б) ∠B = 120°, OB = 2√3; в) ∠A = 30°, BD = 3√3.

а) Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла A. Перпендикуляр от O к стороне треугольника имеет длину r, поэтому в прямоугольном треугольнике с гипотенузой AO: \(r=AO\sin(\angle A/2)\).

\(r=4\sqrt{3}\cdot\sin 30^\circ=2\sqrt{3}.\)

б) Аналогично, \(r=OB\sin(\angle B/2)=2\sqrt{3}\cdot\sin 60^\circ=3.\)

в) Точки касания окружности со сторонами, выходящими из B, равноудалены от B. В прямоугольном треугольнике с катетами r и BD угол при B равен половине угла B. Поскольку \(\angle B=180^\circ-90^\circ-30^\circ=60^\circ\), имеем \(BD=r\cot 30^\circ\).

\(r=\dfrac{BD}{\cot 30^\circ}=\dfrac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=3.\)

Ответ: а) \(2\sqrt{3}\); б) 3; в) 3.