2. На рис. три прямые пересекаются в одной точке, ∠1 − ∠3 = ∠2. Докажите, что a ⟂ b.

Обозначим три угла, отмеченные на рисунке, через \(\angle1\), \(\angle2\) и \(\angle3\). Угол, вертикальный к \(\angle2\), равен \(\angle2\). На одной стороне прямой a углы \(\angle1\), \(\angle3\) и этот вертикальный угол образуют развернутый угол. Поэтому

\(\angle1+\angle3+\angle2=180^\circ\).

По условию \(\angle1-\angle3=\angle2\), откуда \(\angle1=\angle2+\angle3\). Подставим это равенство:

\(2\angle2+2\angle3=180^\circ\), следовательно, \(\angle2+\angle3=90^\circ\).

Углы \(\angle2\) и \(\angle3\) — вертикальные, образованные прямыми b и c, поэтому они равны. Значит, каждый из них равен \(45^\circ\). Из \(\angle1=\angle2+\angle3\) получаем \(\angle1=90^\circ\). Угол 1 образован прямыми a и b, следовательно, эти прямые перпендикулярны.

Ответ: \(a\perp b\).