2. На рисунке 1 плоскости α и β параллельны, а ∥ a₁. Прямая a пересекает плоскости α и β соответственно в точках A и B, а прямая a₁ пересекает плоскость α в точке A₁. Постройте точку пересечения a₁ с плоскостью β. Объясните.

Обозначим искомую точку пересечения прямой \(a_1\) с плоскостью \(\beta\) через \(B_1\).

1. Проведём через точки \(A\) и \(A_1\) прямую \(l\). Она лежит в плоскости \(\alpha\).
2. Через точку \(B\) в плоскости \(\beta\) проведём прямую \(l_1\parallel l\). Так как \(\alpha\parallel\beta\), прямая \(l_1\) является соответствующей параллельной проекцией прямой \(l\).
3. Точка пересечения прямых \(a_1\) и \(l_1\) и есть искомая точка: \(B_1=a_1\cap l_1\).

Обоснование: прямые \(a\) и \(a_1\) параллельны, поэтому они лежат в одной плоскости. Пересечения этой плоскости с параллельными плоскостями \(\alpha\) и \(\beta\) — параллельные прямые \(AA_1\) и \(BB_1\). Поэтому в плоскости, содержащей \(a\) и \(a_1\), точка \(B_1\) однозначно определяется как пересечение \(a_1\) с прямой через \(B\), параллельной \(AA_1\).

Ответ: построить через B прямую, параллельную AA₁; её пересечение с a₁ есть точка B₁.