2. На рисунке 2 ABCD — трапеция, O — точка пересечения диагоналей, BC ∥ AD, AD = 2BC. Выразите через векторы $\vec m=\overrightarrow{BA}$ и $\vec n=\overrightarrow{BC}$ векторы: а) $\overrightarrow{BD}$; $\overrightarrow{AC}$; б) $\overrightarrow{BO}$; $\overrightarrow{AO}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2. На рисунке 2 ABCD — трапеция, O — точка пересечения диагоналей, BC ∥ AD, AD = 2BC. Выразите через векторы \(\vec…$ Фото задания

2. На рисунке 2 ABCD — трапеция, O — точка пересечения диагоналей, BC ∥ AD, AD = 2BC. Выразите через векторы $\vec m=\overrightarrow{BA}$ и $\vec n=\overrightarrow{BC}$ векторы: а) $\overrightarrow{BD}$; $\overrightarrow{AC}$; б) $\overrightarrow{BO}$; $\overrightarrow{AO}$.

Accepted Answer

Положим B началом отсчёта. Тогда $B=\vec 0$, $A=\vec m$, $C=\vec n$. Поскольку $AD\parallel BC$ и $AD=2BC$, а направления $\overrightarrow{AD}$ и $\overrightarrow{BC}$ совпадают, $D=A+2\vec n=\vec m+2\vec n$.

а)

$\overrightarrow{BD}=D-B=\vec m+2\vec n$.

$\overrightarrow{AC}=C-A=\vec n-\vec m$.

б) Точка пересечения диагоналей трапеции делит диагональ BD в отношении оснований: $BO:OD=BC:AD=1:2$. Значит, O находится на трети пути от B к D:

$\overrightarrow{BO}=\frac13\overrightarrow{BD}=\frac13\vec m+\frac23\vec n$.

$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BO}=-\vec m+\frac13\vec m+\frac23\vec n=-\frac23\vec m+\frac23\vec n$.

Ответ: а) $\overrightarrow{BD}=\vec m+2\vec n$, $\overrightarrow{AC}=\vec n-\vec m$; б) $\overrightarrow{BO}=\frac13\vec m+\frac23\vec n$, $\overrightarrow{AO}=-\frac23\vec m+\frac23\vec n$.