2. На рисунке 35, б луч BD — биссектриса угла FBC, ∠ABC=80°, ∠BDF=50°. Докажите, что прямые BC и FD параллельны.

Решение:

1. Так как BD — биссектриса угла FBC, то \( \angle FBD = \angle DBC \).
2. По условию \( \angle ABC = 80° \). Так как BD — биссектриса, то \( \angle DBC = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 80° = 40° \).
3. Следовательно, \( \angle FBD = 40° \).
4. Рассмотрим прямые BC и FD и секущую BD. Мы имеем накрест лежащие углы \( \angle FBD \) и \( \angle BDC \).
5. По условию \( \angle BDF = 50° \).
6. В треугольнике BDF, сумма углов равна 180°. \( \angle BFD + \angle FBD + \angle BDF = 180° \). \( \angle BFD + 40° + 50° = 180° \). \( \angle BFD = 180° - 90° = 90° \).
7. Рассмотрим прямые BC и FD и секущую BD. Накрест лежащие углы \( \angle FBD \) и \( \angle DBC \) равны.
8. Так как \( \angle FBD = 40° \) и \( \angle DBC = 40° \), то накрест лежащие углы при прямых BC и FD и секущей BD равны.
9. Следовательно, прямые BC и FD параллельны.

Доказано.