2. На рисунке 79 AC = BC = DC = EC, AC ⟂ CD и BC ⟂ EC. 1) Докажите, что AB = DE. 2) Сравните периметры треугольников ABD и EBD.

1) Рассмотрим △ACD и △BCE. По условию AC = BC, CD = CE, а ∠ACD = ∠BCE = 90°. Поэтому △ACD = △BCE по двум сторонам и углу между ними. Отсюда AD = BE и ∠CAD = ∠CBE.

Так как AC = BC и AD = BE, в прямоугольных треугольниках ACD и BCE соответствующие острые углы дополняют равные углы до 90°. С учётом расположения лучей на рисунке получаем ∠ACB = ∠DCE. В треугольниках ACB и DCE имеем AC = DC, BC = CE и равные углы между этими сторонами. Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому AB = DE.

2) У треугольников ABD и EBD общая сторона BD, а из пункта 1 известно, что AB = DE. По рисунку и полученному равенству соответствующих сторон также AD = BE. Следовательно, периметры равны:

AB + BD + AD = DE + BD + BE.

Ответ: периметры треугольников ABD и EBD равны.