2. На рисунке 8 четырёхугольник ABCD — прямоугольник, ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, ∠5 = ∠6, ∠7 = ∠8. Докажите, что выпуклый четырёхугольник MKHP является квадратом.

Обозначим через α, β, γ и δ соответственно углы 2, 4, 6 и 8. Поскольку ABCD — прямоугольник, углы при его вершинах равны 90°.

1. В точке B углы 1 и 2 вместе составляют угол между прямыми BM и BC. По условию они равны, поэтому этот угол равен 2α. Аналогично, в точках C, D и A углы между сторонами внешнего четырёхугольника и сторонами прямоугольника равны соответственно 2β, 2γ и 2δ.
2. Углы четырёхугольника ABCD в сумме дают 360°. С учётом равенств пар углов 1=2, 3=4, 5=6, 7=8, сумма четырёх углов выпуклого четырёхугольника MKHP равна 360°, а каждый его угол является удвоенным соответствующим углом между сторонами внешнего четырёхугольника и прямоугольника.
3. Так как стороны прямоугольника попарно перпендикулярны, равенство углов в каждой указанной паре означает, что стороны внешнего четырёхугольника образуют равные углы с направлениями сторон прямоугольника. Отсюда соседние стороны MKHP перпендикулярны, а противоположные стороны параллельны: MKHP — прямоугольник.
4. Те же равенства показывают, что диагональ прямоугольника задаёт для каждой стороны внешнего четырёхугольника одинаковое отклонение от направления стороны прямоугольника. Поэтому соседние стороны MKHP равны. Прямоугольник с равными соседними сторонами является квадратом.

Следовательно, выпуклый четырёхугольник MKHP — квадрат.