№2. На рисунке: AB = 1, BD = 3√2, AD = 5; BC = AD (отмечено засечками), ∠CBD = ∠ADB (отмечено дугами). Найдите угол x = ∠BDC.

По отметкам на рисунке \(BC=AD=5\), а \(BD\) — общая сторона треугольников \(CBD\) и \(ADB\). Также \(\angle CBD=\angle ADB\). Следовательно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому соответствующие углы равны: \(x=\angle BDC=\angle ABD\).

Найдём \(\angle ABD\) по теореме косинусов в треугольнике \(ABD\):

\[\cos\angle ABD=\frac{AB^2+BD^2-AD^2}{2\cdot AB\cdot BD}=\frac{1^2+(3\sqrt2)^2-5^2}{2\cdot1\cdot3\sqrt2}=\frac{1+18-25}{6\sqrt2}=-\frac{1}{\sqrt2}.\]

Так как угол треугольника с косинусом \(-\frac{1}{\sqrt2}\) равен \(135^\circ\), получаем:

Ответ: \(x=135^\circ\).