№ 2. На рисунке ABCD — параллелограмм. Разложите: а) \(\overrightarrow{DB}\) через \(\overrightarrow{DA}\) и \(\overrightarrow{DC}\); б) \(\overrightarrow{CA}\) через \(\overrightarrow{DA}\) и \(\overrightarrow{DC}\); в) \(\overrightarrow{DC}\) через \(\overrightarrow{DB}\) и \(\overrightarrow{DA}\).

Обозначим \(\overrightarrow{DA}=\mathbf a\), \(\overrightarrow{DC}=\mathbf c\). В параллелограмме противоположные стороны равны и сонаправлены, поэтому \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=\mathbf c\).

а) По правилу сложения векторов вдоль пути \(D\to A\to B\):

\(\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}.\)

б) По пути \(C\to D\to A\), причём \(\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{DC}\):

\(\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DC}.\)

в) Из равенства из пункта а) выражаем \(\overrightarrow{DC}\):

\(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DA}.\)

Ответ: а) \(\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}\); б) \(\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DC}\); в) \(\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DA}\).