2. На рисунке BM — биссектриса угла ABN. а) Найдите ∠ABM, если он на 15° меньше угла NBC. б) Постройте угол CBK, вертикальный с углом ABN, и найдите его градусную меру. в) Найдите градусную меру угла MBK.

а) Обозначим ∠ABM за x. Так как BM — биссектриса ∠ABN, то ∠MBN = x. По условию ∠NBC = x + 15°.

Углы ∠ABM, ∠MBN и ∠NBC образуют развёрнутый угол:

\(x+x+(x+15^\circ)=180^\circ\).

\(3x=165^\circ\), поэтому \(x=55^\circ\). Значит, ∠ABM = 55°, ∠ABN = 110°, ∠NBC = 70°.

б) Чтобы построить угол, вертикальный с ∠ABN, продолжим стороны угла за точку B: луч BK направим противоположно лучу BN. Тогда ∠CBK и ∠ABN — вертикальные углы, следовательно, ∠CBK = 110°.

в) Лучи BN и BK — противоположные, поэтому ∠MBN и ∠MBK — смежные. Тогда ∠MBK = 180° − 55° = 125°.

Ответ: а) 55°; б) 110°; в) 125°.