2°. На рисунке ∠C = 30°, ∠AEC = 110°. Найдите ∠CBD.

Краткая запись:

• На рисунке: ∠C = 30°, ∠AEC = 110°.
• Найти: ∠CBD.

Пошаговое решение:

1. Рассмотрим треугольник ∆ABE.
• Внешний угол ∆ABE равен ∠AEC.
• ∠AEC = ∠EAB + ∠EBA.
• 110° = ∠EAB + ∠EBA.
2. Найдем ∠EAB (что равно ∠CAB).
• ∠CAB = ∠AEC - ∠EBA = 110° - ∠EBA.
3. Рассмотрим вписанный угол ∠C.
• Вписанный угол ∠C опирается на дугу AB.
• Угол ∠AEB (также ∠CEB) опирается на дугу AB.
• Угол, опирающийся на ту же дугу, равен удвоенному вписанному углу.
• ∠AEC ( внешний угол треугольника EBC) = 110°.
• ∠AOC (центральный угол, если O - центр) = 2 * ∠ABC (вписанный угол, опирающийся на дугу AC).
• ∠ABC = ∠CBD + ∠DBA.
4. Рассмотрим треугольник ∆BCE.
• Внешний угол ∆BCE равен ∠AEC.
• ∠AEC = ∠EBC + ∠BCE.
• 110° = ∠EBC + 30°.
• ∠EBC = 110° - 30° = 80°.
• ∠EBC = ∠CBD + ∠DBA = 80°.
5. Переформулируем задачу, основываясь на свойствах вписанных углов:
• Вписанный угол ∠C = 30° опирается на дугу AB.
• Центральный угол, опирающийся на дугу AB, равен 2 * ∠C = 2 * 30° = 60°.
• Угол ∠AEC = 110° является углом между пересекающимися хордами AC и BD.
• Формула для угла между пересекающимися хордами: ∠AEC = (дуга AC + дуга BD) / 2.
• 110° = (дуга AC + дуга BD) / 2.
• Дуга AC + Дуга BD = 220°.
• Вписанный угол ∠ABC опирается на дугу AC. ∠ABC = Дуга AC / 2.
• Вписанный угол ∠CAD опирается на дугу CD.
• Вписанный угол ∠ABD опирается на дугу AD.
6. Рассмотрим треугольник ∆ BCE.
• ∠BEC = 180° - ∠AEC = 180° - 110° = 70°.
• В ∆BCE: ∠CBE + ∠BEC + ∠BCE = 180°.
• ∠CBE + 70° + 30° = 180°.
• ∠CBE = 180° - 100° = 80°.
• ∠CBE = ∠CBD + ∠DBA = 80°.
7. Рассмотрим треугольник ∆ ABE.
• ∠AEB = 110°.
• ∠BAE + ∠ABE + ∠AEB = 180°.
• ∠BAE + ∠ABE + 110° = 180°.
• ∠BAE + ∠ABE = 70°.
8. Рассмотрим треугольник ∆ ACE.
• ∠CEA = 110°.
• ∠CAE + ∠AEC + ∠ECA = 180°.
• ∠CAE + 110° + 30° = 180°.
• ∠CAE = 180° - 140° = 40°.
• ∠CAE = ∠CAB + ∠BAE = 40°.
9. У нас есть:
• ∠CAE = 40°.
• ∠CBE = 80°.
• ∠C = 30°.
• ∠AEC = 110°.
10. Угол ∠CBD является частью угла ∠CBE.
• ∠CBE = 80°.
11. Рассмотрим вписанный угол ∠CAD, опирающийся на дугу CD.
12. Рассмотрим вписанный угол ∠CBD, опирающийся на дугу CD.
13. Следовательно, ∠CAD = ∠CBD.
14. Рассмотрим вписанный угол ∠ABD, опирающийся на дугу AD.
15. Рассмотрим вписанный угол ∠ACD, опирающийся на дугу AD.
16. Следовательно, ∠ABD = ∠ACD.
17. В ∆ BCE: ∠CBE = 80°, ∠BCE = 30°, ∠BEC = 70°.
18. В ∆ ACE: ∠CAE = 40°, ∠ACE = 30°, ∠AEC = 110°.
19. Суммируем углы:
• ∠AEB = 180° - ∠AEC = 180° - 110° = 70°.
• В ∆ ABE: ∠BAE + ∠ABE + ∠AEB = 180°. ∠BAE + ∠ABE + 70° = 180°. ∠BAE + ∠ABE = 110°.
• ∠CAE = ∠CAB + ∠BAE = 40°.
• ∠CBE = ∠CBD + ∠DBA = 80°.

Ответ: 40°