№2. На рисунке четырёхугольник ABCD, BC = AD, отмеченные углы CBD и BDA равны, AB = 1, AD = 5, BD = 3√2. Найдите угол x = BDC.

Так как \(\angle CBD=\angle BDA\), прямые \(BC\) и \(AD\) параллельны (накрест лежащие углы равны). При этом \(BC=AD\), поэтому ABCD — параллелограмм. Следовательно, \(AB=CD\), и треугольники ABD и CDB равны по трём сторонам: \(AB=CD\), \(AD=CB\), \(BD=DB\). Значит, \(x=\angle ABD\).

В треугольнике ABD по теореме косинусов:

\[\cos \angle ABD=\frac{AB^2+BD^2-AD^2}{2\cdot AB\cdot BD}=\frac{1^2+(3\sqrt2)^2-5^2}{2\cdot1\cdot3\sqrt2}=\frac{-6}{6\sqrt2}=-\frac{1}{\sqrt2}.\]

Угол с таким косинусом равен \(135^\circ\).

Ответ: \(x=135^\circ\).