2. На рисунке изображены: равнобедренный треугольник МОС, ∠O = ∠C, МР - высота ДМОС. ∠OMP = 32°. Поставьте в соответствие каждому углу треугольника его -градусную меру.

Решение:

Нам дан равнобедренный треугольник МОС, где ∠O = ∠C. Это означает, что стороны, противолежащие этим углам, равны: МO = MC. MP — высота, значит, MP ⊥ OC. Следовательно, △MPО и △MPC — прямоугольные треугольники, где ∠MPO = ∠MPC = 90°.

В △MPО нам дан угол ∠OMP = 32°. Так как △MPО — прямоугольный, сумма углов в нем равна 180°. Следовательно:

∠MOP + ∠OMP + ∠MPO = 180°

∠MOP + 32° + 90° = 180°

∠MOP = 180° - 90° - 32° = 58°

Так как △МОС — равнобедренный, то углы при основании OC равны: ∠MOC = ∠MCO. Следовательно, ∠C = ∠O = 58°.

Теперь найдем угол ∠MOC. Это полный угол ∠O в △МОС. Поэтому ∠MOC = 58°.

Найдем угол ∠OMC. В прямоугольном △MPC:

∠MCO + ∠OMC + ∠MPC = 180°

58° + ∠OMC + 90° = 180°

∠OMC = 180° - 90° - 58° = 32°

Проверим: в △МОС сумма углов равна: ∠MOC + ∠O + ∠C = 58° + 58° + (∠OMC + ∠PMC). Поскольку MP — высота в равнобедренном треугольнике, она также является биссектрисой, т.е. делит угол ∠M пополам. Значит, ∠OMC = ∠PMC = 32°. Тогда ∠M = ∠OMC + ∠PMC = 32° + 32° = 64°.

Сумма углов в △МОС: 58° + 58° + 64° = 180°.

Сопоставим углы:

• ∠MPO = 90°
• ∠OMC = 32°
• ∠PMC = 32°
• ∠MOC = 58°
• ∠O = 58°
• ∠C = 58°
• ∠M = 64°

Согласно вариантам ответов:

• ∠MPO: 90°
• ∠OMC: 32°
• ∠PMC: 32°

Ответ:

• ∠MPO: 90°
• ∠OMC: 32°
• ∠PMC: 32°